直觉常把0.999…看成“不断接近1，却永远差一点”。这句话适用于0.9、0.99或任何只写有限个9的小数，却不适用于循环小数本身。省略号表示9无限延续，而不是在某个看不见的位置停下。
严格地说，0.999…代表序列0.9、0.99、0.999……的极限。写到第n个9时，它与1的差是10的负n次方；n越大，差越小。若0.999…仍小于1，两者之间就必须存在一个正的实数间隔。但无论给出多小的正数，都能写出足够多的9，使剩余差距比它更小，所以这个间隔只能是0。
也可以令x=0.999…，则10x=9.999…；两式相减得到9x=9，于是x=1。这个计算不是把“无穷最后一位”偷换掉，而是利用无限小数作为极限的定义。
因此，0.999…与1不是两个极其接近的实数，而是同一个实数的两种十进制写法。有限截断仍小于1；无限循环的记号则已经指定了它们趋近的极限。反直觉来自把“每一项都不到1”误当成“极限也不到1”。
了解 Geoffrey Chen 的更多信息
订阅后即可通过电子邮件收到最新文章。