纯五度的频率比是3∶2，听起来稳定而融合。若从C开始连续向上调十二个纯五度，音名最终会回到C；在键盘上，这个终点也应当等于向上七个八度。但数学并不闭合：(3/2)的12次方比2的7次方略大，差距称为毕达哥拉斯音差。若前面五度全都纯净，最后就必须把误差塞进某个音程，形成明显难听的“狼音”。
十二平均律采取另一种办法：保留八度，把它等分为十二个相同比率的半音。这样每个五度都比3∶2略窄，误差不再集中于一处。代价是除了八度，常用音程都不是完全纯的，尤其大三度与纯律差异较明显；所得利益则是升D与降E可以共用一个琴键，作品能够转调，各调也具有同样的音程结构。
这不是说调律师只需按公式设定频率。真实钢琴弦有刚性，泛音会略高于理想整数倍，低音与高音的八度通常还要适度拉宽。十二平均律提供的是组织原则，具体调律仍要依靠拍频、琴弦和整架琴的声音校正。
演奏者应该听见的，不是“钢琴调不准”，而是调律在不同要求间作出的选择。钢琴用每个五度极小的不纯，换来整套键盘的可通行性。和弦中的轻微拍动因此不是系统失败，而是这个协调方案留下的听觉纹理。
https://www.phys.unsw.edu.au/jw/tartini-temperament.html
https://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/Tartini-tones-temperament.html
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