菲尔兹奖公布以后，围绕获奖者出现了不少舆论和讨论。我对这些并没有太大兴趣，但很想弄清楚邓煜究竟证明了什么。他的研究涉及可逆的微观运动如何产生不可逆的宏观规律，而这个问题与我多年来对熵的思考有直接关系。
这项成果的证明过程非常复杂，我并不能看懂它的数学推演。不过这不妨碍分析它的结论和意义。只要先确认这项研究证明了什么、在什么条件下成立，后面的哲学推演仍然可以继续。需要分清的是，数学结论与哲学解释属于不同层次，不能把后者也说成数学已经证明的内容。
我一直倾向于从康德哲学的框架理解数学的本质。人类认识任何对象，都不能脱离自身的先验形式和理性条件。数学尽量排除具体的经验内容，保留下来的是数量、关系、结构以及推演规则。它不是自然本身，却是人类理性把握自然时最稳定和严格的形式。
数学也不能简单等同于形式逻辑。康德把数学看作先天综合判断，它还涉及空间、时间以及对象的可构造性。更准确地说，数学是人类理性在先验形式、逻辑规则和可构造关系的限定下，对可能经验所作的必然性展开。
数学定理不能脱离公理、定义和模型独立成立。但只要条件已经给定，结论便不能再由个人意愿改变。我们可以质疑一个模型是否充分对应现实，却不能在接受前提之后拒绝由此产生的结果。数学使我们看到，在人类能够建立的严格理性框架中，哪些结论是无法回避的。
我对熵的理解也不只是通常所说的“混乱程度增加”。熵增更接近这样一个过程——原来可以集中识别和调用的差异逐渐分散，简单关联进入越来越复杂的高阶关联。完整信息未必在微观层面消失，但宏观描述越来越难以恢复和掌握这些信息。结构可能仍然存在，却不再以原来那种可以直接辨认和利用的方式存在。
玻尔兹曼方程中的 H 定理早已说明，在相应条件下，物理熵具有不减的方向。但这里一直存在一个基础困难。玻尔兹曼方程描述的是不可逆过程，底层的牛顿力学却是可逆的。如果把所有粒子的速度精确反转，理论上它们可以沿原来的路径返回。从可逆的微观运动到不可逆的宏观趋势，中间究竟发生了什么，一直是统计物理中的一个根本问题。
邓煜与 Zaher Hani、马骁研究了大量稀薄硬球粒子的弹性碰撞。在明确的初始统计条件和玻尔兹曼—格拉德极限下，他们从牛顿力学的硬球系统严格推导出玻尔兹曼方程，而且有效范围可以延伸到玻尔兹曼方程的强解存在期间。过去只能在很短时间内建立的微观到宏观连接，因此获得了更完整的数学基础。
这项成果没有无条件地证明整个宇宙必然熵增。它处理的是特定模型，依赖统计初态、尺度极限以及解的存在条件。完整微观系统的信息也没有凭空消失。粒子碰撞形成的关联逐渐进入更高阶的结构，而单粒子分布和宏观变量不再继续追踪这些关联。不可逆性是在这种尺度转换中出现的。
这已经足以引出一个哲学问题。如果数学体现了人类理性的基本形式，那么当理性按照严格规则，从可逆的局部运动推演大量个体构成的整体时，最后却得到不可逆性，这是否意味着熵增不只是外部自然中偶然观察到的经验现象？它也可能是理性按照自身规则向前推进时必然遇到的一种结构性阻力。
这里所说的“阻力”，不是一种专门反对理性的自然力量，也不是机械意义上的作用力。它更接近一种统计方向。能够直接辨认和保持的有序状态只占全部可能状态中的很小一部分，能够形成同一宏观结果的微观状态却极其众多。差异的集中需要条件，关联的保存需要约束，已经形成的结构也不会自动持续。
人类理性面对复杂对象时也会遇到类似的问题。理性可以规定局部规则，却不可能在扩大对象范围以后继续保存和调用所有细节。它必须进行抽象、分类、压缩和统计。在这个过程中，一部分差异被保留，另一部分进入背景。理性越是从个别对象推进到复杂整体，越难完整恢复已经进入高阶关联中的信息。熵增可能不仅描述物质系统的宏观方向，也揭示了有限理性处理复杂整体时无法彻底消除的一种限制。
今天，物理、化学、生物等领域已经越来越多地使用 AI 发现规律、提出假设、处理计算并推出结果。这些领域最终还可以通过观察和实验检验结论。数学有所不同。AI 可以帮助提出猜想、寻找证明路径，甚至生成很长的证明，但一个结论要真正成为数学知识，证明链必须能够被数学共同体的人工复核。人工走通数学推理过程仍然是数学定理能够成立的必要环节。
邓煜的研究成果显然具有重要的哲学含义。它没有替我们回答熵增与理性的全部关系，却把可逆的微观运动如何产生不可逆的宏观结果这条链条向前推进了一大步。数学是人类理性最严格的展开形式，而理性沿着自己的规则推演下去，竟然在宏观层面遇到了无法轻易取消的方向性。这使我过去关于数学、熵增和理性的思考有了一个新的连接点。现在还不能说这个闭环已经完成，但其中一个关键条件，已经有了相当可靠的数学依据。
相关研究
International Mathematical Union, Fields Medals 2026
https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2026
Yu Deng, Zaher Hani and Xiao Ma, Long Time Derivation of the Boltzmann Equation from Hard Sphere Dynamics
https://arxiv.org/abs/2408.07818
Yu Deng, Zaher Hani and Xiao Ma, Hilbert’s Sixth Problem: Derivation of Fluid Equations via Boltzmann’s Kinetic Theory
https://arxiv.org/abs/2503.01800
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