给一张平面地图涂色，要求共享边界的两个区域颜色不同，无论地图怎样复杂，至多四种颜色总能完成。这是四色定理。它说的是“至多”：许多地图两三种就够，也确有结构需要第四种颜色。
条件必须说清。两个区域只在一个角上碰到，不算相邻；若共享一段边界，才必须异色。每个区域还应是连通的。现实地图里一国可能有飞地或岛屿，若坚持同一国家的分离部分必须同色，问题就已经改变，不能直接套用原定理。
为什么地图问题会变成数学？可以在每个区域放一个点，把相邻区域的点连起来。连线能够在平面上安排得互不交叉，于是地图被转成“平面图”；涂地图等价于给这些点着色，使有连线的两点异色。四色定理保证所有这样的平面图都可四色着色。它不是凭试过很多地图得出的近似，而是经过证明的定理；最早被普遍接受的证明在1976年借助计算机检查大量构形。
有趣之处不在节省颜料，而在局部限制怎样形成整体上限。一个区域只需避开直接邻居的颜色，不必避开“邻居的邻居”。平面又限制了相邻关系能有多密集。四种颜色之所以足够，来自这两种约束共同作用，而不是地图通常画得简单。
https://mathworld.wolfram.com/Four-ColorTheorem.html
https://distributedmuseum.illinois.edu/exhibit/four-color-theorem/
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_four_colour_theorem/
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